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Matemática 51

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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9. Dadas $f$ y $g$, calcular $h=g \circ f$. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de $h$ y de $h^{-1}$.
c) $f(x)=\frac{2}{3 x-1}+5, \quad g(x)=x+2$

Respuesta

Son tres ejercicios en uno:
1. Calcular la composición de funciones -> $h(x)$

2. Calcular la inversa de la función -> $h^{-1}(x)$

3. Calcular las asíntotas de ambas funciones



1. Calculemos la composición de funciones:


$f(x) = \frac{2}{3 x-1}+5$
$g(x) = x+2$
$h(x) = g(f(x)) = \frac{2}{3 x-1}+5+2$
• $h(x) = g(f(x)) = \frac{2}{3 x-1}+7$



2. Vamos a obtener la inversa de $h(x)$:


$y = \frac{2}{3 x-1}+7$


$x = \frac{2}{3 y-1}+7$


$x -7= \frac{2}{3 y-1}$


$(x -7)(3y-1)= 2$


$3xy -x -21y +7 = 2$


$3xy -21y = x + 2 -7$


$y (3x -21) = x-5$


$y= \frac{x-5}{3x-21}$


• $h^{-1}(x) =\frac{x-5}{3x-21}$


 3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:


-> Asíntotas de la función $h(x)$:
 
AH: 

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2}{3 x-1}+7 = 7$
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2}{3 x-1}+7= 7$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene una asíntota horizontal en $y=7$.

AV: 

$3 x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$
En $x=\frac{1}{3}$, $\lim_{x\rightarrow\frac{1}{3}} \frac{2}{3 x-1}+7 = \infty$
• Por lo tanto, $h(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=\frac{1}{3}$.



-> Asíntotas de la función $h^{-1}(x)$:

AH: 

$\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x-5}{3x-21} =\frac{1}{3}$
$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{x-5}{3x-21} = \frac{1}{3}$
• Por lo tanto, $h^{-1}(x)$ tiene una asíntota horizontal en $y=\frac{1}{3}$.

AV: 

$3x-21 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$
En $x=7$, $\lim_{x\rightarrow4^+} \frac{x-5}{3x-21} = -\infty$
$\lim_{x\rightarrow4^-} \frac{x-5}{3x-21} = +\infty$
• Por lo tanto, $h^{-1}(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=7$.
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camila
26 de septiembre 16:54
profe, en todos estos ejercicios cuando sacas la AV y AH yo no hago lo del límite. Para AV saco el dominio y  pongo el valor que me da en AV y con la AH hago a/c. Esta bien eso o tengo que hacerlo con límites?
0 Responder
Julieta
PROFE
30 de septiembre 16:45
@camila Nop, está mal. Tenés que hacerlo con límites porque es lo que quieren evaluar. Y porque no todos los valores que no pertenecen al dominio son efectivamente asíntotas.
0 Responder