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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3 - Límite

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9. Dadas ff y gg, calcular h=g∘fh=g \circ f. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asintotas de hh y de h−1h^{-1}.
c) f(x)=23x−1+5,g(x)=x+2f(x)=\frac{2}{3 x-1}+5, \quad g(x)=x+2

Respuesta

Son tres ejercicios en uno:
1. Calcular la composición de funciones -> h(x)h(x)

2. Calcular la inversa de la función -> h−1(x)h^{-1}(x)

3. Calcular las asíntotas de ambas funciones



1. Calculemos la composición de funciones:


f(x)=23x−1+5f(x) = \frac{2}{3 x-1}+5
g(x)=x+2g(x) = x+2
h(x)=g(f(x))=23x−1+5+2h(x) = g(f(x)) = \frac{2}{3 x-1}+5+2
• h(x)=g(f(x))=23x−1+7h(x) = g(f(x)) = \frac{2}{3 x-1}+7



2. Vamos a obtener la inversa de h(x)h(x):


y=23x−1+7y = \frac{2}{3 x-1}+7


x=23y−1+7x = \frac{2}{3 y-1}+7


x−7=23y−1x -7= \frac{2}{3 y-1}


(x−7)(3y−1)=2(x -7)(3y-1)= 2


3xy−x−21y+7=23xy -x -21y +7 = 2


3xy−21y=x+2−73xy -21y = x + 2 -7


y(3x−21)=x−5y (3x -21) = x-5


y=x−53x−21y= \frac{x-5}{3x-21}


• h−1(x)=x−53x−21h^{-1}(x) =\frac{x-5}{3x-21}


 3. Ahora vamos a buscar las asíntotas:


-> Asíntotas de la función h(x)h(x):
 
AH: 

lim⁡x→+∞23x−1+7=7\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{2}{3 x-1}+7 = 7
lim⁡x→−∞23x−1+7=7\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{2}{3 x-1}+7= 7
• Por lo tanto, h(x)h(x) tiene una asíntota horizontal en y=7y=7.

AV: 

3x−1 ≠0⇒x≠133 x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}
En x=13x=\frac{1}{3}, lim⁡x→1323x−1+7 =∞\lim_{x\rightarrow\frac{1}{3}} \frac{2}{3 x-1}+7 = \infty
• Por lo tanto, h(x)h(x) tiene una asíntota vertical en x=13x=\frac{1}{3}.



-> Asíntotas de la función h−1(x)h^{-1}(x):

AH: 

lim⁡x→+∞x−53x−21 =13\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac{x-5}{3x-21} =\frac{1}{3}
lim⁡x→−∞x−53x−21 =13\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{x-5}{3x-21} = \frac{1}{3}
• Por lo tanto, h−1(x)h^{-1}(x) tiene una asíntota horizontal en y=13y=\frac{1}{3}.

AV: 

3x−21 ≠0⇒x≠73x-21 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7
En x=7x=7, lim⁡x→4+x−53x−21 =−∞\lim_{x\rightarrow4^+} \frac{x-5}{3x-21} = -\infty
lim⁡x→4−x−53x−21 =+∞\lim_{x\rightarrow4^-} \frac{x-5}{3x-21} = +\infty
• Por lo tanto, h−1(x)h^{-1}(x) tiene una asíntota vertical en x=7x=7.
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camila
26 de septiembre 16:54
profe, en todos estos ejercicios cuando sacas la AV y AH yo no hago lo del límite. Para AV saco el dominio y  pongo el valor que me da en AV y con la AH hago a/c. Esta bien eso o tengo que hacerlo con límites?
0 Responder
Julieta
PROFE
30 de septiembre 16:45
@camila Nop, está mal. Tenés que hacerlo con límites porque es lo que quieren evaluar. Y porque no todos los valores que no pertenecen al dominio son efectivamente asíntotas.
0 Responder